例题：求和公式
已知数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$，其中 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n+1$，求 $\sum\limits_{i=1}^n a_i$。
解析：
我们可以列出数列的前几项：
$$a_1=1, a_2=4, a_3=9, a_4=16, a_5=25, \cdots$$
观察数列的规律，我们可以发现：
$$a_n=(n+1)^2-1$$
我们可以利用数列求和公式来求解 $\sum\limits_{i=1}^n a_i$：
$$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i &= \sum\limits_{i=1}^n [(i+1)^2-1] \\ &= \sum\limits_{i=1}^n (i+1)^2 - \sum\limits_{i=1}^n 1 \\ &= \sum\limits_{i=2}^{n+1} i^2 - n \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} - n \end{aligned}$$
因此，$\sum\limits_{i=1}^n a_i=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-n$。
数列求和方法是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。在数学中，数列求和方法可以用来求解各种数列的和，如等差数列、等比数列等。在物理学中，数列求和方法可以用来求解速度、加速度等物理量的变化。在计算机科学中，数列求和方法可以用来优化算法的时间复杂度等。
数列求和方法是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。通过学习数列求和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高自己的数学素养。
